Decágono

Definición

Un decágono es una figura plana que tiene 10 lados, 10 ángulos y 10 vértices. El término «decágono» se deriva de la palabra latina «decagonum», donde «deca» significa diez y «gonium» significa «ángulos».

En geometría el decágono se clasifica como un polígono que puede ser regular o irregular, con ángulos cóncavos o convexos.

Las figuras mostradas son tipos de decágonos donde se observa que sus lados pueden ser congruentes o no, al igual que sus ángulos.

Propiedades y características

A continuación, se describen una serie de propiedades y características que tienen los decágonos.

• La característica principal por definición es que tienen 10 ángulos, 10 lados y 10 vértices.
• Los lados de un decágono son líneas rectas y no pueden ser curvas.
• Un ángulo interior y exterior que comparten el mismo vértice suman 180°:
• La suma de los ángulos internos de cualquier decágono es siempre 1440°. Dado que: Suma de ∠ = (n –2) *180°, = (10 – 2) * 180° = 8 * 180° = 1440°
• En cuanto a la suma de los ángulos externos de un decágono cualquiera es de 360°.
• La cantidad total de diagonales de un decágono es de 35. Esto se puede verificar con la fórmula
• De cada vértice del decágono parten o concurren 7 diagonales, como se muestra en la figura.
• Las 7 diagonales que parten de un mismo vértice dividen al decágono en ocho triángulos, como se muestra en las figuras.

Tipos y clasificación

El decágono puede tener diferentes clasificaciones en función de la regularidad de sus lados y la medida de sus ángulos internos.

A continuación, se explican cada uno de los tipos de decágonos.

Decágono regular

Decágono regular.

Un decágono regular tiene sus 10 lados de igual longitud al igual que los ángulos internos que tienen todos la misma amplitud.

• Cada ángulo interno mide 144°.
• Los ángulos externos son congruentes y cada uno mide 36°.
• La medida del ángulo central es de 36°.

Apotema de un decágono regular

En un decágono regular su apotema se puede hallar como se indica a continuación, considerando los datos proporcionados en la figura siguiente.

La intersección entre la apotema y el lado del polígono forma un ángulo recto, por lo que es posible expresar la apotema como una función de la longitud del lado de la figura.

• «a»es la longitud de un lado.
• «r»es el radio de la circunferencia circunscrita, en otras palabras, longitud del centro a un vértice.
• «Ap»es la longitud de la apotema.
• «α»es el ángulo central, corresponde al ángulo entre las dos líneas que unen el centro del decágono con dos vértices consecutivos.

También se puede emplear la fórmula: A_p=1,53884* a.

Decágono irregular

Se considera que un decágono es irregular cuando al menos uno de sus lados tiene diferente longitud.

Debido a esta característica, sus ángulos internos y externos también son de diferente amplitud.

Aunque la suma de los ángulos internos de igual manera es de 1440° y la de los ángulos externos es de 360°.

Decágono convexo

• Este tipo de polígono tiene los diez vértices apuntando hacia afuera.
• Ningún ángulo interior de un decágono convexo mide más de 180°, y todas las diagonales están dentro de la figura cerrada.
• Además, un decágono convexo puede ser tanto regular como irregular.

Decágono cóncavo

• El decágono cóncavo tiene al menos un vértice apuntando hacia adentro.
• Posee por lo menos un ángulo interior del decágono es mayor a 180°.
• Al menos una diagonal se encuentra fuera de la figura cerrada.
• Todos los decágonos cóncavos son irregulares.

Perímetro y área

Perímetro del decágono

El perímetro de un decágono, como en todos los polígonos, resulta de sumar la longitud de cada uno de sus lados.

Donde  es la medida de cada uno de los lados.

Sin embargo, cuando se estudia un decágono regular la fórmula se simplifica de la forma siguiente:

Área de un decágono

Cuando se trata de un decágono regular es posible calcular su área utilizando la fórmula:

Donde:

• A: es el área de la figura geométrica
• n: es el número de lados
• a: la longitud de uno de sus lados
• A_p: la apotema

Se puede simplificar la fórmula y hallar el área en función del perímetro conociendo que P = 10  * a, quedando:

También dada la fórmula de la apotema y conociendo la cantidad de lados, podemos sustituir en la fórmula del área y simplificar:

Para la ecuación anterior, se tiene únicamente la variable «a» que corresponde a la longitud de cada lado.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Un decágono regular tiene sus lados de longitud 17 centímetros. ¿Cuál es la medida del perímetro?

Ejercicio #2

Para el ejemplo anterior ¿Cuál será el área de la figura?